이산 다변량 순서통계량
여기서는 아까 봤던 <기준 1>를 사용했다.
\begin{align*}
&F_{X_{(a)},~X_{(b)}}~(x_1, x_2)
= F_{X_{(a)}}(x_1)
- P(X_{(a)} \le x_{1},
~ x_{2} \le X_{(b)} )
\\[25pt]
&= F_{X_{(a)}}(x_1)
- \sum_{y_1 = a}^{b}~
\sum_{y_2 = n-b}^{n-y_1}~
P(Y_1 = y_1,~Y_2 = y_2)
\\[20pt]
&= F_{X_{(a)}}(X_1) ~-~
\binom{n}{y_1, y_2, y_l}~
p_1^{y_1}~p_2^{y_2}~p_l^{y_l}
\end{align*}
다항분포와 비슷한 모습이다.
자세히보기
P(X_{(a)} \le x_{1},
~ x_{2} \le X_{(b)})
= \sum_{y_1 = a}^{b}~
\sum_{y_2 = n-b}^{n-y_1}~
P(Y_1 = y_1,~Y_2 = y_2)
Y_1 = \sum_{i=1}^{n} I(X_i \le x_1)
\\[10pt]
Y_2 = \sum_{i=1}^{n} I(X_i \le x_2)
\text{ex. ~a=1, ~b=2} \\[10pt]
\sum_{y_1 = 1}^{1}~~
\sum_{y_2 = n-1}^{y-n_1}
~=~
\sum_{y_1 = 1}^{1}~~
\sum_{y_2 = n-1}^{y-n_1}
연속, 다변량, 순서통계량
우선 결합분포함수(joint CDF)를 구하며, 여기서는 위의 <기준 2>를 사용했다.
\begin{align*}
&F_{X_{(1)},~X_{(n)}}~(x_1, x_2)
= F_{X_{(n)}}(x_2)
- P(x_{1} \le X_{(a)} ,
~ X_{(b)} \le x_{2})
\end{align*}
P(x1 <= X(1), X(2) <= x2) ===> x1, X(1), X(2), x2
또, X(i)끼리는 i.i.d 이므로 사실상 같다고 봐도 된다.
\begin{align*}
&= F_{X_{(n)}}(x_2)
-P(x_{1} \le X_{(1)} \le {x_{2}}_{,}~~~x_{1} \le X_{(n)} \le x_{2})
\\[20pt]
&= F_{X_{(n)}}(X_2) ~-~
\{P(x_{1} \le X_{(1)} \le {x_{2}})\}^n
\\[20pt]
&= F_{X_{(n)}}(X_2) ~-~
\{F_{X_{(1)}}(x_2)
- F_{X_{(1)}}(x_1) \}^n
\end{align*}
\therefore~F_{X_{(1)},~X_{(n)}}~(x_1, x_2) =
F_{X_{(n)}}(X_2) ~-~
\{F_{X_{(1)}}(x_2)
- F_{X_{(1)}}(x_1) \}^n
인제 결합확률함수(joint PDF)를 구해보자.
f_{X_{(1)},~X_{(n)}}~(x_1, x_2) =
\dfrac{\partial}{\partial x_1}~
\dfrac{\partial}{\partial x_2}~
F_{X_{(1)},~X_{(n)}}~(x_1, x_2)
\begin{align*}
=~~&\dfrac{\partial}{\partial x_1}~
\dfrac{\partial}{\partial x_2}~
\bigg[
F_{X_{(n)}}(X_2) ~-~
\{F_{X_{(1)}}(x_2)
- F_{X_{(1)}}(x_1) \}^n
\bigg]
\\[20pt]
=~~&\dfrac{\partial}{\partial x_1}
\bigg[
-n\Big\{ F_{X_1}(x_2)
- F_{X_1}(x_1)\Big\}^{n-2} \cdot
f_{X_1}(x_2)
\bigg]
\\[20pt]
=~~& n\cdot(n-1)
\Big\{ F_{X_1}(x_2)
- F_{X_1}(x_1)\Big\}^{n-2}
~f_{X_1}(x_2)
~f_{X_1}(x_1)
\end{align*}
이를 정리하면 역시 다항분포와 비슷한 모습이다.
\begin{align*}
=~~ \dfrac{n!}{1!~(n-2)!~1!}
\cdot
f_{X_1}(x_1)\cdot
\Big\{ F_{X_1}(x_2)
- F_{X_1}(x_1)\Big\}^{n-2}\cdot
f_{X_1}(x_2)
\end{align*}
조건부 순서통계량
f_{X(1)~|~X(n)~=\small x_2}~(x_1) =
\frac{f_{X(1), X(n)}(x_1, x_2)}
{f_{X(n)}(x_2)}
\begin{align*}
&= \dfrac
{n~(n-1)\cdot f_{X_1}(x_1) \cdot
\Big\{ F_{X_1}(x_2)
- F_{X_1}(x_1)\Big\}^{n-2}
\cdot f_{X_1}(x_2)}
{-n\Big\{ F_{X_1}(x_2)
- F_{X_1}(x_1)\Big\}^{n-2} \cdot
f_{X_1}(x_2)}
\\[30pt]
&= (n-1) \cdot \dfrac
{f_{X_1}(x_1)}{F_{X_1}(x_1)} \cdot
\bigg\{ \dfrac
{F_{X_1}(x_2)-F_{X_1}(x_1)}
{F_{X_1}(x_2)}
\bigg\}^{n-2}
\end{align*}
결합확률분포
예를 들어 다음과 같은 case라고 생각해보자.
\begin{align*}
&F_{X_1, X_2}(x_1, x_2)
=P(X_{(1)}\le x_1,~X_{(2)}\le x_2)
\quad(x_1 \le x_2)
\\[20pt]
&=~P(X_{(2)}\le x_2) -
P(x_1 \le X_{(1)},~X_{(2)}\le x_2)
\end{align*}
이를 시각화 해보자.
[X(1), x1, ...] 이고 [..., X(2), x2, ...] 인 경우
이거인지 : X(1), x1, X(2), x2, ....
또는 이거: X(1), X(2), x1, x2, ....
인지 확실히는 알 수가 없다.
이를 판별하기 위해서 기준을 잡는다.
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<기준 1>
기준이 [X(1), x1, ...] 인 경우, 세가지 케이스가 나온다
1. X(1), x1, X(2), x2, ....
2. X(1), X(2), x1, x2,....
3. X(1), x1, x2, X(2), .... {절대 아님}
역시 이 중에서 3번을 제거하면 된다.
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<기준 2>
기준이 [..., X(2), x2, ...] 인 경우, 세가지 케이스가 나온다.
1. X(1), x1, X(2), x2, ....
2. X(1), X(2), x1, x2, ....
3. x1, X(1), X(2), x2, .... {절대 아님}
이 중에서 3번을 제외해버리면 된다.