표본점, 표본공간, 확률
시행과 표본점
시행의 결과 : 표본점(w)
표본공간(\Omega): 표본점의 집합 = 집합으로 표기한다.
- a ≤ w ≤ b: 연속형
- w = 1, 2, 3, …: 이산형
P(X = 1)
\kern{5pt} \rightarrow \kern{5pt}
P\Big(\{ w | X(w) = 1\}\Big)
표본공간과 사상
표본공간의 임의의 부분집합 = 사상(event)
우리는 사상들을 수처럼 연산할 수 있다.
- 합사상 : A \cup B = \{w : w \in A~or~w \in B\} ⇒ OR 연산
- 교사상 : A \cap B = \{w : w \in A~and~w \in B\} ⇒ and 연산
- 여사상 : A^c = \{w: w \notin A \}
- 배반사상 : A \cap B = \varnothing
확률의 정의와 여러가지 정리
확률의 정의는 다음과 같다.
\begin{align*}
\text{1.}& \kern{10pt}
0 ≤ P(A) ≤ 1
\\[10pt]
\text{2.}& \kern{10pt}
P(\Omega) = 1
\\[10pt]
\text{3.}& \kern{10pt}
For~~i \not= j,~ A_i \cup A_j = \varnothing
\\[10pt]
& \kern{10pt}
P~\Big(\bigcup_{}^{} A_n \Big) = ~\displaystyle\sum P(A_n)
\end{align*}
이를 이용해 두 가지 정리를 도출할 수 있다.
정리 1
P(A) = 1 - P(A^c) 인 이유
\text{A and }A^c\text{ are disjoint.}
\kern{10pt}
A \cup A^c = \Omega
\\[10pt]
P(A \cup A^c) = 1.
\kern{10pt}
P(A) + P(A^c) = 1.
\\[10pt]
P(A)= 1 - P(A^c)
정리 2
\text{if. }~A \sub B ~\rightarrow ~P(A) \le P(B)
B = (A^c \cap B) \cup (A \cap B).
\kern{10pt}
\text{A and }A^c\text{ is a partition.}
\\[10pt]
B = A \cup (A^c \cap B)
~\rightarrow~
P(B) = P(A)~+~P(A^c \cap B)
\\[10pt]
\therefore~P(A) \le P(B)
특수한 조건부 확률
보통의 조건부 확률은 다음과 같이 일종의 point를 정하고 시작한다.
- 확률일 경우 ⇒ (결합확률)/(주변확률)
- 확률함수일 경우 ⇒ (결합확률함수)/(주변확률함수)
특수한 구간 1
다음과 같은 구간에서의 조건부확률은 어떻게 구할 것인지 생각해보자.
E(X|Y < y) =
\dfrac{P(X|Y < y)}{P(Y < y)} =
\int x\cdot f_{X|Y~<~y}(x)dx
\\[20pt]
\dfrac{d}{dx}~
F_{X|Y~<~y}(x)dx~
~=
\dfrac{d}{dx}~
\dfrac{P(X \le x, Y\le y)}{P(Y<y)}
특수한 구간 2
E(X|X + Y < 2) =
\int_{~\mathbb{R}}~x \cdot
f_{X|X+Y~<~2}~(x)~dx
\\[10pt]
= \dfrac{d}{dx}~F_{X|X+Y~<~2}~(x)
~
= \dfrac{d}{dx}~
\dfrac{P(X\le x,~X+Y<2)}{P(X+Y < 2)}
독립성 판별과 실험
- P(A \cup B) = P(A)P(B) 이면 두 확률변수 A, B는 독립
- 각각의 확률은 쉽게 알 수 있다.
- 그러나 P(A \cup B), 즉 결합확률(함수)는 현실적으로 알기 힘들다.
- 따라서 실험의 설계를 보고 ‘독립’임을 가정한다.