개요
\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(r)
- k개의 서로 다른 표준정규분포를 각각 제곱한 뒤 더해 얻어지는 분포
- 이때 k를 자유도라고 하며, 매개변수(파라미터)가 된다고 할 수 있다.
- 신뢰구간, 가설검정에 자주 사용한다.
U = \sum_{i=1}^{v}~{Z_i}^2
기본적으로 카이제곱분포는 감마분포의 변형이라고 할 수 있다.
f_u(U)~=~~
\dfrac
{1}{2~\raisebox{0.9em}
{$\textstyle \frac{v}{2} $}
~\Gamma(\frac{v}{2})}
\kern{5pt}
x~\raisebox{0.9em}
{$\textstyle \frac{v}{2} \scriptstyle -1 $}
e~\raisebox{0.9em}
{$\scriptstyle -
\textstyle \frac{x}{2} $}
MGF
감마분포의 MGF를 이용해서 먼저 MGF를 구한다.
M(t) = (1-2t)^{\large-\frac{t}{2}}
1차 적률 = 평균
\dfrac{d}{dt}~M(t)~
\biggr\rvert_{t=0} =
-\dfrac{v}{2}\cdot
(1-2t)^{-\scriptsize\dfrac{v}{2}-1}
\cdot (-2)~
\biggr\rvert_{t=0}~=~v
E(X) = v
2차 적률과 분산
\begin{align*}
\dfrac{d^2}{dt^2}~M(t)~
\biggr\rvert_{t=0} ~&=~
v\cdot
\{-\dfrac{v}{2}-1\}
(1-2t)^{-\normalsize\frac{v}{2}\scriptsize-2}
\cdot (-2)~
\biggr\rvert_{t=0}
\\[20pt]
&=~v(v+2) = v^2 + 2v
\end{align*}
Var(X) = v^2 + 2v - v^2 = 2v