기본 구조
f_{\underline{X}}(\underline{x}) = \dfrac{1}{2\pi}~|\Sigma|^{1/2}~
\exp
\bigg\{
\frac{1}{2}~
(\underline{x} - \underline{\mu})^T
~\Sigma^{-1}~
(\underline{x} - \underline{\mu})
\bigg\}
- 이변량처럼 벡터와 행렬로 정의한다.
- 스칼라는 얇은 글씨체.
- 벡터는 굵은 글씨체, 소문자 알파벳.
- 행렬은 굵은 글씨체, 대문자 알파벳.
- 다만, 이변량보다 좀 더 복잡해지는 부분이 있다.
삼변량 정규분포
\underline{X}
=
\begin{bmatrix}
X_{1} \\
X_{2} \\
X_{3} \\
\end{bmatrix}
\sim
MN(\underline{\mu}, \Sigma)
-
삼변량 정규분포의 공분산행렬
\begin{align*} \Sigma &= \begin{bmatrix} var(X_{1}) & cov(X_{1}, X_{2}) & cov(X_{1}, X_{3})\\[10pt] cov(X_{1}, X_{2}) & var(X_{2}) & cov(X_{2}, X_{3})\\[10pt] cov(X_{1}, X_{3}) & cov(X_{2}, X_{3}) & var(X_{3}) \end{bmatrix} \\[40pt] &= \begin{bmatrix} \sigma_{1}^2 & \rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2} & \rho_{13}\sigma_{1}\sigma_{3} \\[10pt] \rho_{12}\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{2}^2 & \rho_{23}\sigma_{2}\sigma_{3} \\[10pt] \rho_{13}\sigma_{1}\sigma_{3} & \rho_{23}\sigma_{2}\sigma_{3} & \sigma_{3}^2 & \end{bmatrix} \end{align*} -
삼변량 분포부터는 상관계수 \rho 역시 단순히 1개가 아니다.