일차변환
- 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수.
- 일차변환을 행렬로 볼 수 있고, 행렬을 일차변환으로 볼 수 있다.
- 동영상으로 시각화해서 이해하는 것이 제일 편하다.
함수로써의 행렬
행렬을 ‘벡터를 넣어’ ‘벡터로 만드는’ ‘함수’라고 생각해보자.
이때 이 함수(행렬)을 우리는 변환 (transformation)이라고 한다.
\begin{align*}
f(x,y) &= (5x+3y,7x−2y) \\
f(x,y) &= (6x,5x) \\
f(x,y) &= (x^2 + sin(y),0) \\
f(x,y) &= (0,0)\\
f(x,y) &= (x+1,x+5y+2) \\
\end{align*}
이러한 변환 중 다음 조건을 만족시키는 것을 일차(선형)변환이라고 한다.
f(au+v)=af(u)+f(v)
선형변환들은 함수처럼 보이지만, 전부 행렬로 변환시킬 수 있다.
예를 들어 첫 번째 식이었던 f(x,y) = (5x+3y,7x−2y)은 선형변환이고, 다음과 같이 행렬로 바꿀 수 있다.
\begin{pmatrix}
5 & 3 \\
7 & -2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5x+3y \\ 7x-2y
\end{pmatrix}
이를 통해 행렬의 곱셈은 변환이라고 볼 수 있다.
도움이 되는 영상
함수로서의 행렬을 자세히 설명해주는 영상
일차변환과 기하
- 일차변환은 좌표계가 바뀌는 걸로도 생각해 볼 수 있다.
도움이 되는 동영상
3차원 상에서의 일차변환
도움이 되는 동영상
고유값과 고유벡터를 시각화한 영상.