1. 모평균: 정규분포
모평균 1개
H_0 : \theta = \theta_0\\
H_1 : \theta = \theta_1
\lambda = \dfrac{L(\theta_0)}
{L(\theta_1)} =
\dfrac{L(\theta_0)}
{L(\theta_1)}
모평균 1개, 단측
H_0 : \theta = \theta_0\\
H_1 : \theta > \theta_0
\lambda = \dfrac{L(\theta_0)}
{\sup_{H_0} L(\mu)} =
\dfrac{L(\theta_0)}
{L(\theta_1)}
이때 \theta_1은 \theta_0보다 큰 아무 수나 넣으면 된다.
sup은 supreme의 약자로,
모평균 1개, 양측
H_0 : \theta = \theta_0\\
H_1 : \theta \neq \theta_0
\lambda = \dfrac{L(\theta_0)}
{L(\hat\mu_{mle})} =
exp\bigg(-\frac{1}{2}\sum{x_i}^2
+\frac{1}{2}
\sum{(x_i - \overline{x})}^2 \bigg)
\theta_0이 아닌 자리에 왜 평균의 mle를 넣어야 할까?
모평균 2개, 양측
A: X_i \sim N(\mu_1, 1)
\\[5pt]
B: X_i \sim N(\mu_2, 1)
\\[10pt]
H_0 : \mu_1 = \mu_2
\\[5pt]
H_1 : \mu_1 \neq \mu_2
이 경우에는 다음과 같다.
모평균 2개, 단측 (심화)
A: X_i \sim N(\mu_1, 1)
\\[5pt]
B: X_i \sim N(\mu_2, 1)
\\[10pt]
H_0 : \mu_1 = \mu_2
\\[5pt]
H_1 : \mu_1 > \mu_2
이 경우 표본공간의 문제를 생각해야 한다.
2. 모비율: 베르누이
- 모비율 = 베르누이 분포의 모평균
- 모비율 ⇒ 범주형 자료 = 베르누이 분포
가능도비 검정
LR test가 불가능하지는 않다.
그러나 계산식이 너무 복잡하다.
CLT를 이용한 검정
U = \dfrac{\sqrt{n}~
(\overline{X_n} -\mu)}{\sigma}
\longrightarrow_{d}~
\text{N(0, 1) as }n \to \infty
\lim_{n \to \infty} F_{U}(u) = \Phi(\mu). \kern{10pt}
\lim_{n \to \infty}P(U_n \le \mu)
= P(Z \le \mu)
ex. X_i \sim bernoulli(p)
H_0 : p = p_0 \\
H_1 : p \ne p_0
사실상 여기서 \hat{p} = \overline{X_n} = \hat{p}_{mle}.
이때 검정통계량은 다음과 같다.
\dfrac{\overline{X_n} - p}
{\sqrt{p~(1-p)}}
\longrightarrow_{d}~
N(0, 1)
이를 이용해 양측검정을 해보면 다음과 같다.
\begin{align*}
&H_1 : p \ne p_0 \\[10pt]
&R = \bigg\{ \underline{X} ~\big \rvert~ \bigg\rvert
\dfrac{\sqrt{n}~\big\{
\overline{X}(\underline{x}) - p_0\}
}{\sqrt{p(1-p)}} \bigg\rvert >
Z_{\alpha/2}
\bigg\}
\end{align*}
단측검정은 다음과 같다.
\begin{align*}
&H_1 : p > p_0 \\[10pt]
&R = \bigg\{ \underline{X} ~\big \rvert~ \bigg\rvert
\dfrac{\sqrt{n}~\big\{
\overline{X}(\underline{x}) - p_0\}
}{\sqrt{p(1-p)}} \bigg\rvert >
Z_{\alpha}
\bigg\}
\end{align*}
3. 기타분포
- 정규분포도, 베르누이 분포도 아닌 경우를 생각해보자.
- LR test를 해보면 좋은 결과가 나오지 않는다.
이산형 - 포아송분포
H_0 : \lambda = 1\\
H_1 : \lambda = 2
L(\lambda) =
\prod_{i=1}^{n} \dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^{x_i}}{{x_i}!}
= \dfrac
{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum x_i}}
{\prod_{i=1}^{n} x_i!}
\dfrac{L(1)}{L(2)} =
\dfrac{e^{-n(1-2)}~1^{\sum x_i}}
{2^{\sum x_i}} = \lambda(\underline{x}) \le c_{1.}
\kern{10pt}
\sum x_i \ge c_2
Y = \sum X_i \sim poi(n\lambda)
\\[5pt]
R = \{\underline{x} ~|~
Y(\underline{x}) \ge c_1\}
이산형이라 c_1를 찾지 못할 수도 있음.
이 경우 1-\alpha를 넘지 않는 수준에서 가장 큰 값으로 c_1을 대체 한다.
즉, level과 size를 구분해야 하는 것이다.