이항 ⇒ 포아송
f_X(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}
p^k~(1-p)^{n-k}
n이 굉장히 큰 경우에도 해당 변형을 활용한다.
포아송 ⇒ 지수
1. PDF 응용
X \sim poi(\lambda t) 일때,
P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda t}~(\lambda t)^{x}}{x!}
~I(x \in \{0,~1,~2\})
\text{if. }X = 0
\begin{align*}
P(X=x) &= P(\text{t시간 동안 특정 event 발생 안 함.})
\\[15pt]
&= P(\text{특정 event 발생 소요시간이 t보다 크다.})
\\[15pt]
&= P(Y > t) \kern{80pt}
\end{align*}
과정
Y = \text{(특정 event가 발생하는데 소요되는 시간)}
\begin{align*}
P(X=0) &= \dfrac
{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}
{0!} = e^{-\lambda t}
= P(Y > t)
\\[15pt]
&= 1~-~P(Y \le t)
\\[10pt]
P(Y \le t) &= 1 -e^{-\lambda t}
\\[10pt]
P(Y \le y) &= 1 -e^{-\lambda y}
\\[20pt]
F_Y(y) &= 1 -e^{-\lambda y}
\end{align*}
\dfrac{d}{dy}F_Y(y) = \lambda
e^{-\lambda y} \kern{5pt}
\text{: 지수분포의 pdf}
2. MGF 응용
\begin{align*}
M_{X_i}(t) &= \Big(1 -
\frac{t}{\lambda} \Big)^t
\\[15pt]
M_{Y}(t) &= E(e^{tY})
= E\{(e^{X_i})^n\}
\\[15pt]
&=\Big(1-\frac{t}{\lambda} \Big)^n
\\[15pt]
Y~~&\sim~~\Gamma~
(\alpha = k,~\beta = \small\frac{1}{n})
\end{align*}