유사역행렬
- 역행렬이 구해지지 않을 경우를 생각해 보자.
- 위에서 선보였던 행렬 쪼개기로도 역행렬이 안나온다.
- 그렇다면, 행렬 M을 곱해보자.
AMC = I 이므로, A^{-1} = MC 라고 할 수 있다.
여기서 행렬 M은 행의 순서를 바꾸는 역할을 하고 있다.
(행렬 M은 열연산을 수행하고 있다고 할 수 있다.)
즉, 행과 열의 순서를 바꾸어서 우/좌역행렬을 만들어낼 수 있다.
따라서 우/좌역행렬은 1가지만 되는 것이 아니다.
열연산이란?
- 행연산과 반대로 행렬의 뒤에 피봇연산을 진행하는 것.
- 행연산과는 전치관계라고 할 수 있다.
특정 열에 k배 하기
열 바꾸기
특정 열에 덧셈/상수배
대각화와 랭크
이러한 열연산을 통해 행렬을 쪼갤 수 있다.
A\; = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}
A_{1} = M_{1}A\; = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix}
A_{2} = M_{2}A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- 역삼각행렬 완성; A2 = M2 \cdot M1 \cdot A
A_{3} = A_{2}C_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
A_{4} = A_{3}C_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- 대각행렬 완성; A4 = A2 \cdot C1 \cdot C2
이를 정리해보면 다음과 같다. A4 = M2 \cdot M1 \cdot A \cdot C1 \cdot C2
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
행렬을 이러한 과정으로 쪼개는 것을 대각화라고 한다.
대각화 된 식을 다시 정리해 보면 다음과 같다.
행렬을 쪼갬으로써 이 행렬의 거듭제곱을 편하게 계산할 수 있다.
또한, A_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}이므로, 이때 rank(A) = 2이다.