행렬이란?
- 사각형 안에 수를 모은 것.
- 세 가지 역할/기능이 있다.
- 연립방정식을 푸는 도구
- 벡터들을 모은 일종의 공간 = 벡터공간
- 벡터를 넣을 때 벡터가 나오는 함수 = 선형변환!
행렬 표기법
숫자로 표기하기
\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{matrix} \right)
\kern{10pt}
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right]
\\[20pt]
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
= \underline{a}_{01} \rightarrow
\text{열벡터 (행이 1개인 벡터)}
\\[20pt]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}
= \underline{a}_{10}
\rightarrow
\text{행벡터 (열이 1개인 벡터)}
\\[20pt]
\text{if.}~A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\underline{a}_{01} &
\underline{a}_{02} &
\underline{a}_{03}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\underline{a}_{10} \\
\underline{a}_{20}
\end{bmatrix}
기호로 표기하기
- A_{ij},\; A_{i \times j},\; \{a_{ij}\}_{ij}
- 행렬 A의 차원은 n \times m
- i행 j열의 원소값은 a_{ij}
행렬의 성질
1. 스칼라배
kA = B 일때, ka_{ij} = \{b_{ij}\}_{ij} (여기서 k는 스칼라)
\because k\{a_{ij}\} = \{ka_{ij}\} = b_{ij}
2. 행렬의 덧셈
A + B = C (여기서 A, B, C 모두 동일한 차원을 가진다.)
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right] +
\left[
\begin{matrix}
1 & -7 & 12 \\
5 & 0 & -3 \\
9 & 1 & 7 \\
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
2 & -5 & 15 \\
9 & 5 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right]
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
3 & 10 & 6 \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
3 & 7 & 8 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 2 \\
6 & 17 & 14 \\
\end{pmatrix}
따라서, A = \{a_{ij}\}_{ij}이고 B = \{b_{ij}\}_{ij}이며 C = \{c_{ij}\}_{ij}일 때,
a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}이다.
3. 행렬의 곱셈
AB = C
\\[10pt]
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
1 & -7 & 12 \\
5 & 0 & -3 \\
9 & 1 & 7 \\
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
2 & -5 & 15 \\
9 & 5 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right]
- 앞 행렬의 행 크기 = 뒤 행렬의 열 크기 이어야만 연산 성립
dim(A) = n \times m. \quad
dim(B) = m \times l. \quad
dim(C) = n \times l
- 벡터의 내적과 같다.
A =
\begin{pmatrix}
\underline{a}_{1\cdot} \\
\vdots \\
\underline{a}_{n\cdot} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\underline{a}_{\cdot 1} &
\cdots &
\underline{a}_{\cdot m} \\
\end{pmatrix}
B =
\begin{pmatrix}
\underline{b}_{\cdot 1} &
\cdots &
\underline{b}_{\cdot l} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\underline{b}_{1\cdot} \\
\vdots \\
\underline{b}_{m\cdot} \\
\end{pmatrix}
c_{11} = \displaystyle\sum_{k=1}^{3} =
a_{1k}b_{k1}
\kern{10pt}
c_{12} = \displaystyle\sum_{k=1}^{3} =
a_{1k}b_{k2}
\\[10pt]
c_{21} = \displaystyle\sum_{k=1}^{3} =
a_{2k}b_{k1}
\kern{10pt}
c_{22} = \displaystyle\sum_{k=1}^{3} =
a_{2k}b_{k2}
c_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{m} =
a_{ik}b_{kj}
=
\begin{pmatrix}
a_{1i} & \cdots & a_{1m} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{1j} \\ \vdots \\ b_{mj} \\
\end{pmatrix}
=
\underline{a}_{i\cdot}\;
\underline{b}_{\cdot j}
3. 교환법칙은 성립하지 않는다.
\begin{align*}
AB &=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8 & 14 \\
20 & 29 \\
\end{pmatrix}
\\[15pt]
BA &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
6 & 9 & 12\\
17& 22& 27\\
\end{pmatrix}
\end{align*}
4. 전치행렬
(AB)^{T} = B^TA^T
\\[10pt]
dim(A) = n \times m. \kern{10pt}
dim(B) = m \times l.
\\[10pt]
AB
= \{a_{ij}\}_{ij}\{b_{ij}\}_{ij}
= \{\underline{a}_{i\cdot}^{'}
\underline{b}_{\cdot j}\}_{ij}
\\
\text{Then,}~~
(AB)^{\prime} = C^{\prime}
= \{
\underline{a}_{i\cdot}^{\prime}
\underline{b}_{\cdot j}
\}_{ij}
\\[10pt]
\underline{a}_{i\cdot}^{\prime} \;
\underline{b}_{\cdot j}
= c_{ij}
\kern{10pt}
c_{ji}=
\underline{a}_{j\cdot}^{\prime} \;
\underline{b}_{\cdot i}
5. 행렬의 결합법칙
(AB)C = A(BC)
A = \{a_{ij}\}_{ij},~~
B = \{b_{ij}\}_{ij},~~
C = \{c_{ij}\}_{ij}.
\\[10pt]
D = AB
= \{a_{ij}\}_{ij}\{b_{ij}\}_{ij}
= \{\underline{a}_{i\cdot}^{'}
\underline{b}_{\cdot j}\}_{ij}
= \{d_{ij}\}_{ij}
\\[10pt]
(AB)C = DC =
\{\underline{d}_{i\cdot}^{\prime}\;
\underline{c}_{\cdot j}\}_{ij}
\begin{align*}
\underline{d}_{i\cdot}^{\prime}\;
\underline{c}_{\cdot j}
&=
\displaystyle\sum_{p=1}^{1} d_{ip}c_{pj}
= \displaystyle\sum_{p=1}^{l}
(\underline{a}_{i\cdot}^{\prime}\;
\underline{b}_{\cdot j})\;
{c}_{pj} \\[20pt]
&=
\displaystyle\sum_{p=1}^{l}
\Bigg( \displaystyle\sum_{q=1}^{m}
{a}_{iq}\;{b}_{qj}\Bigg)
=
\displaystyle\sum_{p=1}^{l}
{a}_{iq}
\Bigg(\displaystyle\sum_{q=1}^{m}
{b}_{qj}\;{c}_{pj}
\Bigg) \\[20pt]
&=
\displaystyle\sum_{p=1}^{l}
{a}_{iq} (
\underline{b}_{i\cdot}^{\prime}\;
\underline{c}_{\cdot j}
) =
\displaystyle\sum_{p=1}^{l}
{a}_{iq}\;{f}_{qj}
=
\underline{a}_{i\cdot}^{\prime}\;
\underline{f}_{\cdot j}
\\[15pt]
&= AF = A(BC)
\end{align*}
6. 행렬의 분배법칙
A(B+C) = AB + AC
B + C = \{b_{ij} + c_{ij}\}_{ij}
= \{d_{ij}\}_{ij} = D \\[8pt]
A(B+C) = AD
= \{\underline{a}_{i\cdot}^{\prime}\;
b_{ij}\}_{ij} +
\{\underline{a}_{i\cdot}^{\prime}\;
c_{ij}\}_{ij}
같은 이유에서 (B+C)A = BA + BC 도 성립한다.
행렬의 종류
1. 정방행렬
- 행의 수와 열의 수가 같은 행렬
A =
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
3 & 10 & 6 \\
5 & 4 & 7 \\
\end{pmatrix}
2. 대각행렬 / 단위행렬
- 주대각선을 제외한 나머지가 전부 0인 행렬
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
- 이 중 주대각선이 전부 1인 행렬을 단위행렬이라고 한다.
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
3. 전치행렬 / 대칭행렬
- 주대각선을 기준으로 해서 원소들을 바꿔준 행렬을 전치행렬이라 한다.
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
3 & 10 & 6 \\
5 & 4 & 7 \\
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 \\
3 & 10 & 4 \\
1 & 6 & 7 \\
\end{pmatrix}
-
주대각선을 기준으로 대칭인 경우 대칭행렬이라고 한다.
- 대칭행렬은 전치시켜도 그 모양이 같다.
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix} ^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix}
4. 멱등행렬
- 제곱했을 때 자기 자신이 되는 행렬
- 영어로는 idempotent matrix
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4 \\
-1 & 3 & 4 \\
1 & -2 & -3 \\
\end{pmatrix}
^n
=
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4 \\
-1 & 3 & 4 \\
1 & -2 & -3 \\
\end{pmatrix}
5. 직교행렬
- 행렬 속 모든 열벡터가 서로 직교하는 행렬
- ex. 회전행렬, 아다마르 행렬, 푸리에 행렬 등등…
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
q_1 & q_2
\end{bmatrix}
\\ [10pt]
q_1 \cdot q_2 = q_1^Tq_2 =
cos\theta \cdot -sin\theta +
cos\theta \cdot sin\theta = 0