이상한 확률함수가 주어졌다고 가정했을 때, 이를 구분하는 좋은 방법이 있다.
보통 이러한 확률함수의 경우 x와 모수가 섞인 경우가 대부분이다.
커널
- 모수와 변수로 이뤄진 확률함수의 핵심파트
- 이를 잘 이용하면 어떠한 모양의 함수든 분포의 종류를 확인가능하다.
커널로 보는 분포함수
\begin{align*}
f(x) = \cdots e^x \kern{10pt} &\Longrightarrow \kern{10pt}
\text{지수분포}
\\[20pt]
f(x) = \cdots e^{x^2} \kern{10pt} &\Longrightarrow \kern{10pt}
\text{정규분포}
\\[20pt]
f(x) = \cdots xe^x \kern{10pt} &\Longrightarrow \kern{10pt}
\text{감마분포}
\\[20pt]
f(x) = \cdots e^{|x|} \kern{10pt} &\Longrightarrow \kern{10pt}
\text{이중지수분포}
\\[20pt]
f(x) = \cdots x\lambda^x \kern{10pt} &\Longrightarrow \kern{10pt}
\text{포아송분포}
\end{align*}
각 분포의 커널을 제외한 나머지 부분은 합이 1이 되기 위해 끼워놓은 파트.
(이를 normalizing term이라고 함.)
예시
다음 확률함수들은 무슨 분포인가?
\begin{align*}
f_X(x;\theta) &=
(1/\theta^2)~xe^{-x/\theta}
\kern{10pt} (0 < x < \theta,~
0<\theta<\infty)
\\[10pt]
f_X(x;\theta) &=
(1/2\theta^3)~x^2e^{-x}
\kern{10pt} (0 < x < \theta,~
0<\theta<\infty)
\\[10pt]
f_X(x;\theta) &=
(1/2)~e^{-|x-\theta|}
\kern{10pt} (0 < x < \theta,~
0<\theta<\infty)
\end{align*}
해답
1번 분포
f_X(x;\theta) =
{1 \over \theta^2}~xe^{-x} =
{1 \over \Gamma(2)~\theta^2}~
x^{2-1}~e^{-x/\theta}
\alpha = 2,~~\beta = \theta인 감마분포.
2번 분포
f_X(x;\theta) =
{1 \over 2\theta^3}~xe^{-x} =
{1 \over \Gamma(3)~\theta^3}~
x^{3-1}~e^{-x/\theta}
\alpha = 3,~~\beta = \theta인 감마분포.
3번 분포
f_X(x;\theta) =
{1 \over 2}~e^{-|x-\theta|} =
{1 \over 2 \cdot 1}~
\exp\bigg({-|x-\mu| \over 1}\bigg)
b = 1인 라플라스분포.