감마함수
- 팩토리얼을 함수로 만든 것이라고 생각하면 된다.
- 다음과 같이 생겼다.
\begin{align*}
\Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty}
x^{a-1}~e^{-x}dx
\\[20pt]
\Gamma(1) &= \int_{0}^{\infty}
x^{1-1}~e^{-x}dx
= \int_{0}^{\infty} e^{-x}dx
= 1
\\[20pt]
\Gamma(2) &= \int_{0}^{\infty}
x^{2-1}~e^{-x}dx
= \int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx
= 1
\\[20pt]
\Gamma(3) &= \int_{0}^{\infty}
x^{3-1}~e^{-x}dx
= \int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x}dx
= 2
\end{align*}
감마함수의 특징 - 1
감마함수 자체가 적분꼴인데, 이를 부분적분으로 계산해보자.
\begin{align*}
\Gamma(a)
&= \int_{0}^{\infty}
x^{a-1}~e^{-x}dx
\\[20pt]
&= -x^{a-1}e^{-x}
\biggr\rvert_{0}^{\infty}
~+~ (a-1) \cdot
\int_{0}^{\infty}
x^{a-2}~e^{-x}dx
\\[20pt]
&= 0
~+~ (a-1) \cdot
\int_{0}^{\infty}
x^{a-2}~e^{-x}dx
\\[20pt]
&= (a-1)~\Gamma{(a-1)}
\end{align*}
이 상태에서 a=4인 경우를 계산해보자.
\begin{align*}
\Gamma(4) &= 3\cdot\Gamma(3)
= 3\cdot2\cdot\Gamma(2)
= 3\cdot2\cdot1\cdot\Gamma(1)
= 6
\\[10pt]
&=3\cdot2\cdot1 = 3!
\end{align*}
이를 다시 정리해보면, 다음과 같다.
\Gamma(n) = (n-1)!
결론적으로, 감마함수는 팩토리얼을 확장시킨것이라고 할 수 있다.
단, 팩토리얼과 달리 정의역에 복소수 범위가 포함된다.
감마함수의 특징 - 2
삼각함수를 이용해 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.
정수가 아닌 z에 대하여,
\Gamma(z)\Gamma(1-z) =
\dfrac{\pi}{sin(z\pi)}
- z = 1/2 를 기준으로 반사시켜서 나온 이름이다.
지시함수
I(x) = \begin{cases}
0 &\text{if not x}
\\
1 &\text{if x}
\end{cases}
- 적분 구간 설정
- 모수의 범위, x값의 범위 조정에서 많이 쓰임.
지시함수의 곱
\prod_{i=1}^{n}~I(\theta \le x) =
I(\theta \le X_{1})
반대방향이라면?
\prod_{i=1}^{n}~I(x \le \theta ) =
I(X_{n} \le \theta)
지시함수와 베르누이 분포
지시함수는 베르누이 분포로 볼 수 있다. (값이 0 아니면 1이므로)
I(A) \sim bernoulli(p) \\
E(I(A)) = p(A)
\begin{align*}
E[I(X_0 = 1)] &= E(g(X_0)) \\[10pt]
&=\sum_y~g(X_0)~P(X_0 = y) \\[5pt]
&=\sum_y~g(1)~P(X_0 = 1) \\[5pt]
&=\sum_y~I(y=1)~P(X_0 = 1) \\[5pt]
&= P(X_0 = 1)
\end{align*}
절댓값과 함수
다음과 같은 함수가 있다고 생각해보자.
f(x) = f_{+}(x) - f_{-}(x) \\[16pt]
f_{+}(x) = max(0, f(x))\\[8pt]
-f_{-}(x) = min(0, f(x))\\[16pt]
f_{+}(x) \ge 0.\quad f_{-}(x) \ge 0
\\[8pt]
|f(x)| = f_{+}(x) + f_{-}(x)
새로운 변수를 정의해 굳이 절댓값을 쓰지 않고도 함수를 표현했다.