벡터공간
벡터를 만들어 써보니 편리하다는 것을 알게 됨.
그럼, 수학의 다른 대상들을 벡터로 바꾸어 생각하면 안되나?
그래서 나온 개념이 바로 넓은 의미의 벡터와 벡터공간.
넓은 의미의 벡터 = 벡터공간의 원소
그럼 벡터공간이란 무엇인가?
벡터공간의 정의
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A1) 덧셈에 대한 교환법칙 :
∀x,y∈V에 대하여, x+y=y+x
A2) 덧셈에 대한 결합법칙 :
∀x,y,z∈V 에 대하여, (x+y)+z=x+(y+z)
A3) 덧셈에 대한 항등원 :
∀x∈V 에 대하여, x+0=0+x 를 만족시키는 0∈V 의 존재
A4) 덧셈에 대한 역원 :
∀x∈V 에 대하여, x+y=0 을 만족시키는 y∈V 의 존재
A5) 곱에 대한 항등원 :
∀x∈V에 대하여 1 \cdot x = x \cdot 1
A6) ∀x,y∈F 와 ∀x∈V 에 대하여 (ab)x=a(bx)
A7) 스칼라 분배법칙 :
∀a,b∈F 와 ∀x∈V 에 대하여 a(x+y)=ax+by
A8) 벡터 분배법칙
∀a,b∈F 와 x∈V 에 대하여 (a+b)x = ax + bx
➡️ 이 8가지 조건을 만족하는 수학적 대상은 벡터공간으로 생각할 수 있다.
➡️ 즉, n차원 공간처럼 생각할 수 있다.
➡️ 행렬은 이 조건을 만족하기 때문에 벡터공간의 일종이다.
➡️ 즉, 행렬은 n차원 공간 그 자체로 볼 수 있다.
벡터공간의 성질
모든 벡터공간 V에서, 임의의 벡터 \underline{x}∈V 와 임의의 스칼라 a∈F 에 대해 다음이 성립한다.
\begin{align*}
①&\; 0\underline{x}=0 \\
②&\; \underline{a}0=0 \\
③&\; (−a)\underline{x} =
−(a\underline{x}) =
a(−\underline{x}) \\
④&\; a\underline{x}= \underline{0}
⇔ a=0 \;
or \;
\underline{x} = \underline{0} \\
\end{align*}
벡터공간의 응용
‘벡터공간’이라는 개념을 통해 다양한 수학적 대상들이 벡터로 생각될 수 있음.
- 행렬을 벡터공간로 생각 ➡️ 행공간, 열공간, 선형생성 등에 응용
- 함수를 벡터공간로 생각 ➡️ 적분, 푸리에 변환, 미분방정식 등에 응용
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벡터공간과 행렬 1 : 선형결합과 선형생성
행렬 = 일종의 벡터공간.
즉, 행렬에 존재하는 열벡터 & 행벡터는 벡터공간의 원소가 된다.
기저를 통해 벡터 간의 관계를 알 수 있다.
예시로 보는 개념
\underline{a} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
,\quad
\underline{b} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
,\quad
\underline{c} =
\begin{pmatrix}
2 \\ 2 \\ 4
\end{pmatrix}
이 벡터들 간의 연산을 해보자.
-
단, 할 수 있는 연산의 종류는 한정되어 있다.
-
연산 : 벡터 + 벡터, 벡터 + 스칼라, 벡터 * 스칼라
-
이러한 연산을 선형결합이라고 한다.
-
벡터 a를 연산해 벡터 b를 만들 수 있는가?
불가능. 이러한 경우 a와 b는 선형독립이다.
-
벡터 a와 b를 연산해 벡터 c를 만들 수 있는가?
가능. 이러한 경우 c는 a와 b의 선형종속이다.
그런데, 벡터 a와 b를 연산해 만들 수 있는 (선형종속인) 벡터는 굉장히 많다.
이러한 벡터들을 모아보면 특정한 공간(여기서는 평면)이 만들어진다.
이 특정한 공간을 선형생성(Span) 또는 선형포(linear haul)이라고 한다.
기호로는 lin\; S 라고 한다.
또 벡터 a, b를 집합 S으로 묶어서 표시할 수 있고, 이를 lin S 의 기저(basis)라고 한다.
또한 집합 S의 크기를 차원(dimension)이라고 한다. (여기서는 n=2 이므로 2차원)
수학적 정의
선형결합
k_{1}\underline{a_{1}} + k_{2}\underline{a_{2}} +
\cdots =
\begin{bmatrix}
\underline{a_{1}} &
\underline{a_{2}} &
\cdots
\underline{a_{n}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_{1} \\ k_{2} \\
\vdots \\ k_{n}
\end{bmatrix}
선형생성
- 앞서 말했듯, 선형결합으로 만들어진 벡터들을 모은 것
lin\; S
= \{
k_{1}\underline{a_{1}}
+ \cdots
+ k_{n}\underline{a_{n}}
\;||\;
k_{i} \in \mathbb{R}
\}
-
벡터 x와 벡터 y 가 있으며, 이들이 lin S 의 원소라고 가정하자.
\underline{x} = \sum k_{i}a_{i} 이므로, 이에 해당하는 모든 k_{i}를 찾을 수 있다.
\underline{y} = \sum k_{i}a_{i} 이므로, 이에 해당하는 모든 k_{i}를 찾을 수 있다.
이때, k_{1}\underline{x} +k_{2}\underline{y}을 계산한 값 역시 lin\; S 에 포함된다.
이 경우, lin S를 ‘덧셈과 실수배에 닫혀있다’ 라고 한다.
(원소들을 더하거나 실수배해선 해당 집합을 빠져나갈 수 없다.)
연립방정식과 선형독립
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
4 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 3
\end{bmatrix}
- 앞의 행렬 A에는 3개의 벡터가 있다.
- 이 벡터들의 선형생성 속에 벡터 b가 들어가 있다면 해가 존재한다고 할 수 있다.
- 즉, 연립방정식을 기하학적 개념으로 생각해 볼 수 있다.
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벡터공간과 행렬 2: 기저와 공간
행렬과 기저
- lin S 를 만족하는 벡터들이 바로 그 행렬의 기저라고 할 수 있다.
- 그 벡터의 갯수가 바로 차수(랭크)라고 할 수 있다.
만드는 방법
- 가우스-조르당 소거법을 이용해 행렬을 역삼각행렬로 만든다.
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
-
여기서 피봇연산이 적용된 원소의 갯수가 바로 기저이라고 할 수 있다.
즉, 여기서는 rank(A) = 3 이다.
- 열을 기준으로 잡았기에, 다음과 같이 생각할 수 있다.
\begin{matrix}
& 1st & 2nd & 3rd & 4th\\[7pt]
x\text{축} & & & \\[7pt]
y\text{축} & & & \\[7pt]
z\text{축} & & & \\
\end{matrix}
- 보면 알 수 있듯, 기저의 최대값은 행의 갯수와 열의 갯수 중 더 작은 것을 따라간다.
A = \{a_{ij}\}_{m \times n} \\[8pt]
rank(A) \le min(m, n)
행렬 속 공간 (부분공간)
- 꼭 열을 기준으로 선형생성한다고 생각할 필요는 없다.
- 행렬 속에는 다양한 공간들이 존재한다.
열공간
A \in M_{m,n}(F)인 행렬에 대하여,
A의 m개 열들의 선형공간으로 생성된 부분공간 R(A) = {r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}}을
행렬 A의 열공간이라고 한다.
행공간
A \in M_{m,n}(F)인 행렬에 대하여,
A의 n개 들의 선형공간으로 생성된 부분공간 R(A) = {r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}}을
행렬 A의 열공간이라고 한다.
영공간
만약 연립방정식의 해가 0인 경우, 빈공간 C에는 0이 아닌 다른 값이 들어간다.
A\underline{C} = \underline{0}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
4 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
이러한 C의 모임을 빈공간이라고 한다. 기호로는 N(A)라고 쓴다.
예시
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\quad
rank(A) = 2
이때 열공간은 다음과 같다.
c_{1}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
c_{2}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c1 \\ c2 \\ 0
\end{pmatrix}
= 0
lin\; S = \{
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\}
또 행공간은 다음과 같다.
c_{1}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
c_{2}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c1 \\ c2 \\
c_{1}+c_{2} \\ 2c_{1} + 3c_{2}
\end{pmatrix}
= 0
lin\; S = \{
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
\}
빈공간은 다음과 같다.
\underline{c} =
\begin{pmatrix}
c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}
\end{pmatrix}.
\quad
c_{1}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
c_{2}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
c_{3}
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
c_{4}
\begin{pmatrix}
2 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix}
= 0
\begin{pmatrix}
c_{1} + c_{3} + 4c_{4} \\
c_{2} + c_{3} + 3c_{4} \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}.
\quad
\underline{c}
=
\begin{pmatrix}
c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ 3a-4b \\ -a+b
\end{pmatrix}
N(A) =
\{
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ 3a-4b \\ -a+b
\end{pmatrix} ||\;
a \in \mathbb{R},
b \in \mathbb{R}
\}
기저와 이웃기저해
다음과 같은 방정식이 있다고 생각해 보자. (행렬화한 상태)
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \\
-1 & 1 & -1 & 4 & 0 & 40 \\
1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 50
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \\
0 & 1 & 0 & 2.5 & 0.5 & 25 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & 45
\end{bmatrix}
이 행렬의 rank는 3이고, 기저변수는 x1, x2, x3라고 할 수 있다.
이때의 기저해는 다음과 같다.
\begin{bmatrix}
-60 \\ 25 \\ 45 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
그런데, 기저변수를 x1, x2, x5로 놓을 수도 있다. 이 때의 기저해는 다음과 같다.
\begin{bmatrix}
-60 \\ 25 \\ 0 \\ 0 \\ 90
\end{bmatrix}
이때 기저해들끼리의 관계를 서로 이웃기저해 라고 한다.
이웃기저해의 갯수는 최대 \binom{\text{행의 갯수}}{\text{열의 갯수}} 라고 할 수 있다.