7. 피봇연산과 역행렬

피봇연산의 응용: 일반화역행렬

• 일반적으로 역행렬은 정방행렬일때 구할 수 있다.
• 다만, 다음의 방법들을 이용해 비정방행렬 일때의 역행렬도 구해볼 수 있다.

우역행렬

• 다음과 같은 행렬이 있다고 치자. 크기는 2 \times 3 이다.

  우선 행렬을 정사각형과 나머지로 나눈다.

  그리고 역행렬이 될 행렬 B를 설정한다.

  이때 행렬들의 크기는 A = 2 \times 3.\quad B = 3 \times 2.

• 이 상황에서 AB의 값을 도출해보자. 그 값은 2x2인 항등행렬이다.

  AB = \begin{pmatrix} A_{1} | A_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \end{pmatrix} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} = I_{2}
  size\; of\; A_{1}B_{1} = (2 \times 2)\times (2 \times 2) = 2 \times 2 .\\ size\; of\; A_{2}B_{2} = (2 \times 1)\times (1 \times 2) = 1 \times 1

• 정리해보면

  B_{1} = A_{1}^{-1}. \quad B_{2} = \underline{0}. \quad AB = A_{1}A_{1}^{-1} + A_{2}\underline{0} = I_{2}

• 이때 B_{1}과 B_{2}를 구하고, B를 구해보면

  \begin{align*} B_{1} = A_{1}^{-1}&= \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \\ \end{pmatrix} \\[15pt] B &= \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\[15pt] \end{align*}

• 이때 B를 A의 우역행렬이라고 한다.

  A의 오른쪽에서만 곱했을 때만 역행렬로써 기능한다.

  • 왜? 이미 구한 값들로 BA를 만들어보면 항등행렬이 안나온다.
  \begin{pmatrix} B_{1}A_{1} & B_{1}A_{2} \\ B_{2}A_{1} & B_{2}A_{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 2) & (2 \times 1) \\ (1 \times 2) & (1 \times 1) \\ \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

좌역행렬

• 크기가 2 \times 3 인 행렬 A가 있다. 역행렬이 될 행렬 C도 존재한다.

  A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{pmatrix}. \quad C = \begin{pmatrix} B_{1} & B_{2} \end{pmatrix}.

• 이번에는 CA 순서로 곱해보자.

• 이때 C를 A의 좌역행렬이라고 한다.

  A의 왼쪽에서만 곱했을 때만 역행렬로써 기능한다.

일반화역행렬의 정리

임의의 행렬 A_{m \times n}을 가지고

1. m < n인 경우, B는 A의 우역행렬이 된다.

   A = \begin{pmatrix} A_{1} | A_{2} \end{pmatrix}. \quad B = \begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \end{pmatrix}.

2. m > n인 경우, B는 A의 좌역행렬이 된다.

   A = \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{pmatrix}. \quad C = \begin{pmatrix} B_{1} & B_{2} \end{pmatrix}.

3. 기준 행렬을 분리할 때 꼭 서로 붙어 있는 열만 골라야 하것은 아니다.