2018111373 최인렬
1번
M_{X_1,~X_2}(x_1, x_2) =
E\big[ \exp(t_1X_1 + t_2X_2) \big]
\\[20pt]
= \exp \bigg[
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t_1\\t_2\end{pmatrix} +
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
t_1\\t_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma^2 & \rho\sigma^2 \\ \rho\sigma^2 &\sigma^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t_1 & t_2\end{pmatrix}
\bigg]
\\[20pt]
= \exp \bigg\{
t_1 + 2t_2 +
\dfrac{{t_1}^2}{2}\sigma^2 +
\dfrac{{t_2}^2}{2}\sigma^2 +
t_1t_2\rho\sigma^2
\bigg\}
\\[20pt]
= \exp \bigg\{
t_1 + 2t_2 +
50{t_1}^{2} + 50{t_2}^{2} +
100\rho~t_1 t_2
\bigg\}
2번
M_{X_1|X_2=x_2}(t_1) = E(e^{t_1X_1 } | X_2 = x_2 )
먼저 X_1 | X_2 = x_2의 분포를 확인해본다.
f_{X_1 | X_2 = x_2}(x_1) =
f_{X_1,~X_2}(x_1,~x_2)
\times \dfrac{1}{f_{X_2}(x_2)}
\\[25pt]
=
\dfrac
{\dfrac{1}{2\pi\sigma^2
\sqrt{1-\rho^2}}
\cdot
\exp \bigg\{
\dfrac
{[x_1 - (~1 - \rho(x_2-2)~)]^2}{2\sigma^2~\cdot~(1-\rho^2)}
\bigg\}
\cdot \exp \bigg\{
-\dfrac{(x_2-2)^2}{2\sigma^2} \bigg\}}
{\dfrac{1}
{\sqrt{2\pi}\sigma}
\cdot
\exp \bigg\{
-\dfrac{(x_2-2)^2}{2\sigma^2} \bigg\} }
\\[25pt]
=
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma
\sqrt{1-\rho^2}}
\cdot
\exp \bigg\{
\dfrac
{[x_1 - (~1 - \rho(x_2-2)~)]^2}{2\sigma^2~\cdot~(1-\rho^2)}
\bigg\}
\bigg\}
이는 정규분포의 확률함수 모양이다.
\sigma^2 = 100 이라고 했으므로, 이를 대입하면
\therefore~
X_1|X_2 = x_2 \sim
N\big(~1-\rho(x_2-2), 100(1-\rho^2)~ \big)
결과적으로, 조건부 적률생성함수(conditional MGF)의 모양은 다음과 같다.
M_{X_1|X_2=x_2}(t_1) =
\exp \Big[
\{1-\rho(x_2-2)\}~t_1 +
50(1-\rho^2)~t_1
\Big]