p-th percentile
p = P(X \le \pi_p ) = F_X(\pi_p).
\\[10pt]
\pi_p = F_X~^{-1}(\pi_p)
예시
- p = 0.1
\begin{align*}
F_X(x) =&
\dfrac{1}{6}(x-1)~I(1\le X \le2) + \dfrac{2}{6}~I(2\le X <3)
\\[10pt]
&+~\dfrac{x}{6}~I(3\le X \le5)
+~I(5\le X )
\end{align*}
여기서 \pi_{0.1}은 어디?
0.1이 들어가는 Y값 구간을 찾아보자.
\dfrac{1}{6}(x-1)~I(1\le X \le2) ~\rightarrow~ 0 \le Y \le 1/6
\\[10pt]
\dfrac{2}{6}~I(2\le X <3)
~\rightarrow~ 2/6 \le Y \le 2/6
\\[10pt]
\dfrac{x}{6}~I(3\le X \le5)
~\rightarrow~ 3/6 \le Y \le 5/6
\\[10pt]
I(5\le X)
~\rightarrow~ 1 = Y
이를 통해 파이값을 찾아보자.
\dfrac{1}{6}~(x-1) = 0.1. \kern{10pt}
x-1 = 0.6.
\kern{10pt}
x=1.6
\\[20pt]
\therefore~
\pi_{0.1} = 1.6
결론
- 퍼센타일은 연속형에서 항상 존재.
- 단, 이산형에서 없을 수도 있다.