우선적으로 X_i 들은 모두 i.i.d (independent and identically distributed)이다.
따라서 각각의 곱으로 분해할 수 있고, X_{(1)}의 n승으로 표기할 수 있다.
최소값의 확률분포
- X_{(1)}의 확률함수를 의미한다.
- 이때, 확률함수를 써보면 다음과 같다.
F_{X(1)}(x) =~P(X_{(1)} \le x)
이를 시각적으로 이해해 보자. 다음과 같다.
X(1), x, X(2), X(3), X(4), X(5), .....
여기서 중요한 것은 X_{(1)} 만 작고 나머지는 다 x보다 크다는 것이다.
이는 모든 X_{(i)} 들이 x보다 클 확률의 여사건임을 의미한다.
\begin{align*}
F_{X(1)}(x) =&~P(X_{(1)} \le x)
\\[8pt]
=&~ 1-P(X_1 > x, X_2 > x, \cdots, X_n > x)
\\[8pt]
=&~ 1-P(X_1 > x)P(X_2 > x)\cdots P(X_n > x)
\\[12pt]
=&~ 1-\bigg\{P(X_1 > x)\bigg\}^n
\\[12pt]
=&~ 1-\bigg\{1-F_X(x)\bigg\}^n
\end{align*}
\begin{align*}
F_{X(1)}(x) =&~
1-\{1-F_{X_1}(n)\}^n
\\[10pt]
f_{X(1)}(x) =&~
n~\{1-F_{X_1}(n)\}^{n-1}
~\cdot~f_{X_1}(n)
\end{align*}
최댓값의 확률분포
- X_n의 확률함수를 의미한다.
- 이때 확률함수를 쓰면 다음과 같다.
F_{X(n)}(x)
=~ P(X_{(n)} \le x)
이를 시각적으로 이해해 보자.
X(1), X(2), X(3), X(4), X(5), ..... X(n), x
그냥 모든 X_{(i)}들이 다 x보다 작다.
\begin{align*}
F_{X(n)}(x)
=&~ P(X_{(n)} \le x)
\\[8pt]
=&~ P(X_1 \le x,~X_2 \le x~\cdots,~X_n \le x)
\\[8pt]
=&~ [P(X_1 \le x)]^n
\\[8pt]
=&~[F_{X_1}(x)]^n
\\[20pt]
f_{X(n)}
=&~ n~\{1-F_{X_1}(n)\}^{n-1}
~\cdot~f_{X_1}(n)
\\[15pt]
=&~ n~(1-e^{\lambda x})^{n-1}
~\cdot~\lambda e^{-\lambda x}
\end{align*}
- 우선 확률분포들이 정렬이 되어있지는 않은 상태라고 생각한다.
- 다만 최댓값과 최솟값은 아는 상태라고 가정한다.
- 이 상태에서 최솟값, k번째값, 최댓값의 확률분포를 구하는 것이다.