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11444번: 피보나치 수 3

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문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_{n-1} + F_{n-2} (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

아이디어 1

개요

피보나치 수열의 정의는 다음과 같다.

\begin{align*} F_{i+1} =& F_{i} + F_{i-1} \\ F_{i} =& F_{i} + 0 \end{align*}

이를 행렬방정식으로 바꿔보면 다음과 같다.

\begin{align*} \begin{bmatrix} F_{i+1} \\ F_{i} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{i} \\ F_{i-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} F_{1} \\ F_{0} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align*}

역시 n의 종류에 따라 케이스를 구분해야 한다.

  1. n = 1
  2. n = 2
  3. n = 3

코드

python
""" 피보나치 수 6 """
import sys
input = sys.stdin.readline

def multiply(A, B):
    n = len(A)
    temp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):

            # temp[i][j]
            for k in range(2):
                temp[i][j] += (A[i][k] * B[k][j]) % 1000000007
    return temp

def power(A, n):
    if n == 1:
        return A
    
    if n % 2 == 0:
        temp = power(A, n//2)
        return multiply(temp, temp)
    
    else:
        temp = power(A, n-1)
        return multiply(temp, A)


def mat_vec(A):
    ans = []
    x = [1, 0]
    for i in range(2):
        temp = 0
        for j in range(2):
            temp += (A[i][j] * x[j]) % 1000000007
        ans.append(temp)
    return ans


if __name__ == "__main__":
    n = int(input())
    A = [[1, 1], [1, 0]]
    if n == 0:
        print(0)
    else:
        A = power(A, n)
        ans = mat_vec(A)
        print(ans[1])

아이디어 2

개요

규칙성 발견으로 풀 수도 있다.

코드

python