정규분포
\begin{align*}
X &\sim N(\mu, \sigma) \\[20pt]
f_{X}(x) &= \frac {1}{\sqrt{2\pi\sigma}}
e^{\normalsize-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\[20pt]
M_{X}(t) &= exp\bigg\{
\mu t + \frac{\sigma^2}{2} t
\bigg\}
\end{align*}
확률함수 조건 확인
- 여기서 이중적분, 극좌표, 그리고 변수변환을 적극적으로 사용한다.
- 따라서 관련 내용을 한번 잘 보는 것이 필요하다.
- 또, 왜 이러한 방식을 쓰는 것인지 이해하는 것이 필요하다.
함수는 변수가 한개인데, 왜 이중적분을 쓰는가?
우선 정규분포 확률함수는 그냥 적분할 수가 없다.
따라서 다음과 같은 테크닉을 사용한다.
x^2 = 1이고, x > 0 이면 x = 1으로 도출된다.
x^2 = 1,~x>0
\\
\downarrow
\\
x=1
마찬가지로 f(x)에도 같은 테크닉을 적용해보자.
\displaystyle\int f_X(x)dx \le 0_,
\kern{10pt}
f_X(x) > 0
\\[15pt]
\downarrow
\\[10pt]
\int f_X(x)dx\cdot\int f_Y(y)dy = 1
이중적분을 해보자. 다음과 같이 식이 바뀐다.
\begin{align*}
&\kern{15pt}
\int_{-\infty}^{\infty}
~f_X(x)~dx~\cdot~
\int_{-\infty}^{\infty}~
~f_Y(y)~dy
\\[20pt]
&= \int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}~
f_X(x)~f_Y(y)~dx~dy
\\[20pt]
&= \int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}~
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}~
\exp\bigg({-\dfrac{t^2}{2}}\bigg)~
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}~
\exp\bigg({-\dfrac{s^2}{2}}\bigg)~
~ds~dt
\end{align*}
변수변환 1 : x와 y를 t와 s로.
\begin{array}{rr}
t = \dfrac{x-\mu}{\sigma}
&
dt = \dfrac{1}{\sigma}dx
\\[20pt]
s = \dfrac{y-\mu}{\sigma}
&
ds = \dfrac{1}{\sigma}dy
\end{array}
\begin{align*}
& \kern{13pt}
\int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}~
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}~
\exp\bigg({-\dfrac{t^2}{2}}\bigg)~
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}~
\exp\bigg({-\dfrac{s^2}{2}}\bigg)~
~ds~dt
\\[20pt]
&=
\int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}~
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}~
\exp
\bigg({-\dfrac{t^2 + s^2}{2}}\bigg)~~ds~dt
\end{align*}
변수변환 2 : 극좌표
변수변환을 했기 때문에 자코비안이라는 것을 추가해야 한다.
\begin{align*}
J &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t}{\partial r}
&
\dfrac{\partial t}{\partial \theta}
\\[10pt]
\dfrac{\partial s}{\partial r}
&
\dfrac{\partial s}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\cos(\theta) &
-r\sin(\theta)
\\[10pt]
\sin(\theta) &
r\cos(\theta)
\end{vmatrix}
\\[30pt]
&= r\cos^2(\theta) + r\sin^2(\theta)
=r
\end{align*}
이때, 각 변수들의 범위는 다음과 같다.
\begin{align*}
\text{range :} \kern{10pt}
&0 < r < \infty
\\
&0 < \theta < 2\pi
\end{align*}
함수를 바꾸면 다음과 같다.
\begin{align*}
&\therefore~~
\int_{0}^{\infty}~
\int_{0}^{2\pi}
\frac{1}{2\pi}~
e^{\small-\frac{r^2}{2}}
~|J|~d\theta~dr
\\[20pt]
&= \int_{0}^{\infty}~
\int_{0}^{2\pi}
\frac{1}{2\pi}~
e^{\small-\frac{r^2}{2}}
~r~d\theta~dr
\\[20pt]
&= \int_{0}^{\infty}~
\frac{r}{2\pi}~
e^{\small-\frac{r^2}{2}}
\cdot~2\pi~dr
\\[20pt]
&= \int_{0}^{\infty}~
re^{\small-\frac{r}{2}}~dr
\\[20pt]
&= -exp
\bigg\{-\frac{x^2}{2}\bigg\}~
\biggr\rvert_{0}^{\infty}
\kern{10pt}
= 1
\end{align*}
- 여기서 알 수 있는 사실이 있다.
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac {1}{\sqrt{2\pi\sigma}}
~e^{\normalsize-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
=~ 1
\\[20pt]
\frac {1}{\sqrt{2\pi\sigma}}
~=~
\int_{-\infty}^{\infty}
~\exp\bigg\{
\normalsize-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}
\bigg\}
- 이를 이용해 다양한 계산에서 응용한다.
1차 적률 = 평균
\begin{align*}
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}
\end{align*}
2차 적률과 분산
\begin{align*}
E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}
\end{align*}
\begin{align*}
Var(X) = E(X^2) - E(X^2)
\end{align*}
MGF
\begin{align*}
E(X) &=
\end{align*}
\begin{align*}
E(X^2) =
\end{align*}
\begin{align*}
Var(X) = E(X-E(X))^2
\end{align*}