3. 피봇연산

피봇연산

\begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b & c \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

행의 합
- i번째 행에 k배한 j번째 행을 더한다.
- 2번째 행에 -4를 곱한 뒤 3번째 행에 더한 모습
  
  $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot (-4) \; + \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -6 \end{pmatrix}$

\begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{pmatrix}

E = \begin{matrix} \end{matrix}

다음과 같은 방정식이 있다고 가정하자.

2x + 3y + z = 7\\ 3x + 10y + 6z = 18\\ 5x - 4y + 2z = 11

이를 다시 표현하면 다음과 같다.

\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 10 & 6 \\ 5 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 18 \\ 11 \end{pmatrix}

또, 기호로 바꾸면 $A\underline{x} = \underline{b}$ 으로 바꿔 쓸 수 있다.

이때 행렬 $\bold{A}$ 와 벡터 $\underline{b}$ 를 한 행렬에 모은 것을 확대행렬이라고 한다.

\left[ \begin{array} {rrr|r} 2 & 3 & 1 & 7 \\ 3 & 10 & 6 & 18 \\ 5 & 4 & 7 & 11 \\ \end{array} \right]

다음과 같은 행렬을 역삼각행렬이라고 한다.

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 & 9\\ 0 & 1 & 3 & 7 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 6 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

가우스 소거법의 목표는 확대행렬을 역삼각행렬로 만들고,

다시 역삼각행렬의 주대각선을 모두 1로 만드는 것이다.

\left[ \begin{array} {rrrrr|r} 1 & 3 & 4 & 5 & 9 & 1\\ 0 & 2 & 3 & 7 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 6 & 6 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 12\\ \end{array} \right]

그렇게 만들 경우, 각 변수의 값을 구하는 것이 굉장히 쉬워지기 때문이다.

\left[ \begin{array} {rrrrr|r} 1 & 3 & 4 & 5 & 9 & 1\\ 0 & 2 & 3 & 7 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 6 & 6 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 12\\ \end{array} \right]

➡️ 이 경우, 위에서부터 $x_{1}, \cdots, x_{5}$ 순서대로 해가 나온다.

\begin{align*} -2x - 5y& + 2z &= -3 \\ x + 3y& &= 4 \\ + y& + 3z &= 6 \end{align*}

\left[ \begin{array}{rrr|r} -2 & -5 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ \end{array} \right]

계산과정

\left[ \begin{array}{rrr|r} -2 & -5 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & -11 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]

➡️ $R_{2} + R_{1} *3$ (1열 변화)

↙️

➡️ $R_{3} + R_{1} * 6$ (3열 변화)

↙️

최종적으로, 확대행렬 $\bold{M}$ ⇒ $\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & -11 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$ 가 된다.

\begin{align*} x - 6z =& -11\\ y + 2z =&\; 5\\ z =&\; 1 \end{align*}

\begin{align*} x =& -5\\ y =&\; 3\\ z =&\; 1 \end{align*}

연산 과정

\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -6 & -11 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]

➡️ $R_{3} + R_{2} * (-2)$ (3열 변화)

↙️

➡️ 완료

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최종적으로 확대행렬 $\bold{M}$ ⇒ $\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$ 가 된다.