- 변수가 두개가 된 정규분포라고 생각.
- 가장 많이 다루는 다변량 분포라고 해도 과언이 아니다.
이변량 정규분포 (bivariate Normal distribution)
\underline{X}
=
\begin{bmatrix}
X_{1} \\
X_{2} \\
\end{bmatrix}
\sim
MN(\underline{\mu}~, \Sigma)
f_{\underline{X}}(\underline{x}) = \dfrac{1}{2\pi} \; |\Sigma|^{1/2} ~
\exp
\Big\{
\frac{1}{2}~
(\underline{x} - \underline{\mu})^T \;
\Sigma^{-1}~
(\underline{x} - \underline{\mu}) \Big
\}
-
X, Y 모두의 평균을 표시해 줘야 한다.
-
따라서 다변량 정규분포의 평균은 벡터의 형태를 띈다.
-
이를 평균벡터라고 하며, 표기는 \underline{\mu} 로 해주면 된다.
-
ex. 이변량 정규분포의 평균벡터
\underline{\mu} = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{bmatrix} -
X, Y 각각의 분산, X와 Y의 분산(=공분산)을 모두 표시해 줘야 한다.
-
따라서 다변량 정규분포의 분산은 행렬의 형태가 된다.
-
이를 공분산행렬이라고 하며, 표기는 \Sigma 로 해주면 된다.
-
ex. 이변량 정규분포의 공분산행렬
\Sigma =
\begin{bmatrix}
var(X_{1}) & cov(X_{1}, X_{2}) \\
cov(X_{1}, X_{2}) & var(X_{2}) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sigma_{1}^2 & \rho\sigma_{1}\sigma_{2} \\
\rho\sigma_{1}\sigma_{2} &
\sigma_{2}^2 \\
\end{bmatrix}
-
당연히 행렬식과 역행렬 역시 존재한다.
- ex. 이변량 공분산행렬의 행렬식
|\Sigma| = \begin{vmatrix} \sigma_{1}^2 & \rho\sigma_{1}\sigma_{2} \\ \rho\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{2}^2 \\ \end{vmatrix} = (1-\rho^2) \, \sigma_{1}^2 \, \sigma_{2}^2|\Sigma|^{\frac{1}{2}} = \Big\{ (1-\rho^2) \, \sigma_{1}^2 \, \sigma_{2}^2 \Big\} ^{\frac{1}{2}} = \frac {1} { \sqrt {\sigma_{1}\sigma_{2}(1-\rho^2)} }- ex. 이변량 공분산행렬의 역행렬
\begin{align*} \Sigma^{-1} = \begin{bmatrix} \sigma_{2}^2 & -\rho\sigma_{1}\sigma_{2} \\[5pt] -\rho\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{1}^2 \end{bmatrix} && \end{align*} -
주변확률함수
- 조건부 확률함수
- 응용
-
결합 MGF
둘이 서로 독립일 경우 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.
M_{X_1,~X_2}(t,~s) = E\Big[\exp(tX_1 + sX_2)\Big]
\\[15pt]
\begin{align*}
&= \int\int_{\mathbb{R}}~
\exp(tX + sY)f_{X,~Y}(x,~y)dxdy
\\[15pt]
&= \int\exp(tX)f_{X}(x) \int\exp(sY)f_{Y}(y)
\\[15pt]
&= M_{X}(x)M_{Y}(y)
\end{align*}
- 조건부 MGF
M_{X_1 | X_2 =x_2}