일변량 확률분포 (2) - n번째 순서통계량
중간값의 확률분포
우선 시각적으로 이해해 보자.
\begin{array}{rrrrr}
X_{(1)} & X_{(2)} &
X_{(3)} & \cdots &
X_{(i)}& n & X_{(i+1)}&
\cdots &
X_{(n)} &
\end{array}
- 중요한 것은 최솟값과 최댓값처럼 정렬 안 한 상태에선 i번째 수를 딱! 알아낼 수 없다는 것이다!
- 따라서 정렬을 하지 않은 상태에서 임의로 i개를 뽑아야 한다.
X1, X2, X3, ....., Xi, ....., Xn ===> 임의로 3개 고르기: 조합을 이용.
- 그래서 중간값의 분포는 이항분포를 이용한다.
\begin{align*}
&P(X_{(i)} \le x) = p
\\[10pt]
&Y_i = I(X_i \le x) \sim bernoulli(p)
\end{align*}
이제, 분포함수(CDF)를 구해보자.
k=n 일때 함수의 형태가 망가지므로…미리 분리를 한다.
\begin{align*}
F_{X_{(i)}}(x) &= P(X_{(i)} \le n)
\\[10pt]
=& \sum_{k=i}^{n}\binom{n}{k}~ [F_X(x)]^{k}~
[1-F_X(x)]^{n-k}
\\[15pt]
=& \sum_{k=i}^{n-1}\binom{n}{k}~ [F_X(x)]^{k}~
[1-F_X(x)]^{n-k}
~+~[F_X(x)]^n
\end{align*}
여기서 다시 확률함수(PDF)를 구해보자.
\begin{align*}
f_{X_i}(x) &=
\dfrac{d}{dx}~F_{X_i}(x)
\\[15pt]
=~&~ \sum_{k=i}^{n}
\binom{n}{k}~k~\cdot[F_X(x)]^{k-1} \cdot f_X(x)\cdot[1-F_X(x)]^{n-k}
\\[15pt]
+~&~ \sum_{k=i}^{n-1}
\binom{n}{k}~k~\cdot[F_X(x)]^{k-1} \cdot (n-k)\cdot[1-F_X(x)]^{n-k-1}
\\[15pt]
+~&~~ n\cdot[F_X(x)]^{n-1} \cdot f_X(x)
\end{align*}
정리해보면 다음과 같다.
f_{X_{(r)}}(x) = \dfrac{n!}
{(r-1)!~(n-1)!} \cdot
[F_X(x)]^{r-1} \cdot
[1-F_X(x)]^{n-r} \cdot
f_X(x)