왜 표본분산의 공식은 모분산의 공식과 다른가?
모분산의 공식
\sigma^2 = \dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}
~(X_i -\overline{X})^2
표본분산의 공식
s^2 = \dfrac{1}{n-1}~\sum_{i=1}^{n} ~(X_i -\overline{X})^2
불편성과 효율성의 충돌
- 때로는 서로 다른 기준들이 충돌할 때가 있다.
- 대표적인 예시가 바로 표본분산이라고 할 수 있다.
원래 모분산의 모습은 다음과 같다.
\sigma^2 = \dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}
~(X_i -\overline{X})^2
그러나, 이는 편의추정량이다.
E\Bigg[\dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}
~(X_i -\overline{X})^2 \Bigg] \neq \sigma^2
불편성을 만족하기 위해, 표본분산을 다음과 같이 바꾼다.
(물론, n \to \infty의 상황에서는 둘의 차이가 별로 없다.)
s^2 = \dfrac{1}{n-1}~\sum_{i=1}^{n} ~(X_i -\overline{X})^2