2018111373 최인렬
문제
먼저 공분산을 다음과 같이 분리한다.
\begin{align*}
cov\big(\textstyle\sum X_,
~\textstyle\sum X^2\big) &=
cov(X_1 + \cdots + X_n,~
X_1^2 + \cdots + X_n^2)
\\[10pt]
&=
cov(X_1,~X_1^2 + \cdots + X_n^2)~+
\\[10pt]
& \kern{10pt}
cov(X_1,~X_1^2 + \cdots + X_n^2)~+
\\[10pt]
& \kern{10pt}
cov(X_1,~X_1^2 + \cdots + X_n^2)~+
\cdots~+
\\[10pt]
& \kern{10pt}
cov(X_1,~X_1^2 + \cdots + X_n^2)
\end{align*}
여기서 1번째 항을 살펴보면 다음과 같다.
- X_1과 {X_2}^2는 독립이므로 0이 된다.
- X_1과 {X_3}^2는 독립이므로 0이 된다.
- 다른 {X_i}^2번째 항들도 마찬가지.
\begin{align*}
& \kern{14pt}
cov(X_1,~X_1^2 + \cdots + X_n^2)
\\[10pt]
&=cov(X_1,~X_1^2) + cov(X_1, X_2^2)
+ \cdots + cov(X_1, X_n^2)
\\[10pt]
&= cov(X_1, X_1^2) ~+~ 0 ~+~ \cdots ~+~0
\\[10pt]
&= cov(X_1, X_1^2)
\end{align*}
X_1과 {X_1}^2의 공분산 구하기
cov(X_1,~{X_1}^2) = E(X_1^3) -E(X_1)E({X_1}^2)
\\[10pt]
\text{MGF of normal distribution: }\exp\Big(\mu t +
\small\frac{t^2}{2}\sigma^2\Big)
\begin{align*}
{M_{X_1}}^{(1)}(t) &=
(\mu + t\sigma^2)~\exp\Big(\mu t+\small\frac{t^2\sigma^2}{2} \Big)
\\[10pt]
{M_{X_1}}^{(2)}(t) &=
\sigma^2\exp
\Big(\mu t + \small\frac{t^2\sigma^2}{2}\Big)
+
(\mu + t\sigma^2)^2
\exp\Big(\mu t + \small\frac{t^2\sigma^2}{2} \Big)
\\[10pt]
{M_{X_1}}^{(3)}(t) &= \kern{10pt}
\sigma^2 (\mu + t\sigma^2)
\exp\Big(\mu t + \small\frac{t^2\sigma^2}{2} \Big)
\\[10pt]
& \kern{10pt} +
2\sigma^2 (\mu + t\sigma^2)
\exp\Big(\mu t + \small\frac{t^2\sigma^2}{2} \Big)
\\[10pt]
& \kern{10pt} +
(\mu + t\sigma^2)^3
\end{align*}
\begin{align*}
{M_{X_1}}^{(1)}(0) &= \mu
\\[10pt]
{M_{X_1}}^{(2)}(0) &=
\sigma^2 + \mu^2
\\[10pt]
{M_{X_1}}^{(3)}(0) &=
3\sigma^2\mu + \mu^3
\end{align*}
\therefore~cov(X_1, {X_1}^2) = 3\sigma^2\mu + \mu^3 -
\mu(\sigma^2 + \mu^2)
=2\sigma^2\mu
모든 X가 i.i.d 조건이라고 했으므로, 다음과 같다.
\begin{align*}
cov\big(\textstyle\sum X_,
~\textstyle\sum X^2\big) &=
cov(X_1, {X_1}^2) + \cdots +
cov(X_n, {X_n}^2)
\\[10pt]
&= cov(X_1, {X_1}^2) \cdot n
\\[10pt]
&= 2n\sigma^2\mu
\end{align*}
결론적으로, 공분산이 0이 아니므로 독립이 아니다.