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6. 행렬식과 역행렬

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행렬식

행렬식 구하기 1

행과 열의 길이가 2인 경우 다음과 같이 구한다.

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc

행렬식 구하기 2

행과 열의 길이가 2보다 큰 경우에는 다음과 같이 구한다.

det\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix} \right) = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 3 \\ 7 & 8 & 9 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 6 & 3 \\ 8 & 9 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix}

좀 더 쉽게 구하는 팁은 다음과 같다.

  1. 0이 많은 부분을 공략하는 것이 편하다.
  2. 가우스 소거법을 이용해 행렬을 삼각화한다.

역행렬

어떤 행렬과 곱했을 때 단위행렬이 나오게 하는 행렬

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix}

역행렬 판별하기

  • 모든 행렬의 역행렬이 존재하는 것은 아니다.
  • 이때 행렬식을 사용해 역행렬이 존재하는지 본다.
  • 만약 행렬식의 값이 0이면, 그 행렬의 역행렬을 존재하지 않는다.
    • 이 때 그 행렬을 비가역행렬이라고 한다.
  • 만약 행렬식의 값이 0이 아니라면, 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있다.
    • 이 때 그 행렬을 가역행렬이라고 한다.

역행렬 구하기 1 : 여행렬로 구하기

우선 2x2 행렬의 경우, 다음과 같이 역행렬을 구할 수 있다.

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} -d & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix}

이를 일반화 한것이 바로 여행렬과 소행렬식이다.

A = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 9 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}

  1. 행렬식을 구한다.

    \begin{align*} |A| &= -(9) \cdot \begin{Vmatrix} 2 & 1 \\ 9 & 2 \\ \end{Vmatrix} + 0 \cdot \begin{Vmatrix} 1 & 0 \\ 9 & 2 \\ \end{Vmatrix} - 0 \cdot \begin{Vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{Vmatrix} \\[15pt] &= (-9) \cdot (-5) = 45 \end{align*}

  2. 소행렬식을 만든다

    \begin{pmatrix} 0 & -5 & 0 \\ 18 & 2 & -81 \\ 9 & 1 & -18 \\ \end{pmatrix}

  3. 부호를 바꾼다.

    \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ -18 & 2 & 81 \\ 9 & -1 & -18 \\ \end{pmatrix}

  4. 행렬을 전치시킨다.

    \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ -18 & 2 & 81 \\ 9 & -1 & -18 \\ \end{pmatrix}

  5. 행렬식 값의 역수를 전치된 행렬에 곱한다.

    \dfrac{1}{45} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 \\ -18 & 2 & 81 \\ 9 & -1 & -18 \\ \end{pmatrix} = A^{-1}

역행렬 구하기 2 : 가우스-소거법으로 구하기

  1. 원래 행렬 \bold{A} 와 단위행렬 \bold{E}를 합쳐 확대행렬을 만든다.

    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right]

  2. 왼쪽 행렬이 단위행렬로 바뀔 때 까지 피봇연산 실시

    연산 과정
    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 &-2 & 1 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right]
    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[5pt] 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\[5pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]
    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[5pt] 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\[5pt] 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]
    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[5pt] 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\[5pt] 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]
    \left[ \begin{array} {rrr|rrr} 1 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\[5pt] 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\[5pt] 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

  3. 오른쪽 행렬이 \bold{A^{-1}}이다.

    A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

가역행렬의 특징

만약, 행렬 A가 가역행렬이라면

  • 역행렬을 구할 수 있다.
  • 선형독립이다.
  • rank(A) = n
  • nullity(A) = 0
  • A의 열벡터/행벡터끼리 선형독립이다.
  • A의 고유값 중에는 0이 없다.

(선형독립, rank, nullity란? 클릭)