포아송분포
- 포아송 과정에서 성공한 횟수의 분포
- 특정한 시간 당 발생한 횟수
포아송과정
- 주어진 짧은 시간 h 동안 특정 이벤트가 발생할 확률은 h에 비례한다.
- 시간이 길어지면, 확률이 1보다 커진다.
- 시간이 겹치지 않은 서로 다른 시간대에 이벤트 발생 횟수는 서로 독립이다.
Y_{1000} = X_1 + \cdots + X_{1000} \sim binominal(1000, p_{1000})
\\
Y_{10000} = X_1 + \cdots + X_{10000} \sim binominal(10000, p_{10000})
\begin{align*}
\text{Then, } &\lim\limits_{\infty}Y_n =
Y \sim poi(\lambda)
\\[10pt]
&E(Y) = \lambda =
\lim\limits_{n \to \infty} nP_n,~ P_n = \dfrac{\lambda}{n}
\end{align*}
- 즉, 포아송(poisson) = 이항(binominal)의 n를 극한으로 보낸 것.
- 더 자세한 내용은 여기를 참고!
- 따라서 Y \sim poi(\lambda)는 단위 시간 당 평균적으로 \lambda 회 발생하는 경우를 의미한다.
- 이 때의 이벤트 발생 횟수가 Y
- 그 분포를 포아송 분포라고 한다.
\begin{align*}
X &\sim poi(\lambda)
\\[10pt]
P(X=x) &= \dfrac {e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}~~
I(x \in \{0, 1, 2, \dots\})_.
~ \lambda > 0
\\[10pt]
E(X) &= \lambda
\\[10pt]
Var(X) &= \lambda
\end{align*}
확률함수 조건 확인
- P(X = x) ≥ 0
\therefore~
\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^x}
{\lambda!} > 0_~,
\kern{10pt}
I_X > 0_~.
- \textstyle\sum P(X = x) = 1
- 여기서도 테일러 급수를 사용한다! 모르겠다면 클릭
\sum_{x}P(X=x)
~=~ \sum_{x=0}^{\infty}~
\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{\lambda!}
~=~ e^{-\lambda}~\cdot~
\sum_{x=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^x}{x!}
=e^{-\lambda}e^{\lambda}
1차 적률 = 평균
\begin{align*}
E(X) &= \sum_{x}~xP(X=x)
= \sum_{x=0}^{\infty}
~x\cdot\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}
\\[20pt]
&=\sum_{x=1}^{\infty}
~x\cdot\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}
\\[20pt]
&=e^{\lambda}~\cdot
~\sum_{x=1}^{\infty}
~\dfrac
{\lambda^{x}}{(x-1)!}
\\[20pt]
&=e^{\lambda}~\cdot
~\sum_{k=0}^{\infty}
~\dfrac
{\lambda^{k+1}}{k!}
\\[20pt]
&=\lambda e^{-\lambda}
~\cdot~
\sum_{k=0}^{\infty}
~\dfrac
{\lambda^{k}}{k!}
\\[20pt]
&=\lambda e^{-\lambda}
e^{\lambda} = \lambda
\end{align*}
2차 적률과 분산
- E(X^2)
\begin{align*}
E(X^2) &= E(X(X-1)) + E(X)
\\[10pt]
&= \lambda^2 + \lambda
\\[20pt]
E(X(X-1)) &= \sum_{x=0}^{\infty}
~x(x-1)P(X=x)
\\[15pt]
&= \sum_{x=2}^{\infty}
x(x-1)\cdot
\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}
= \sum_{x=2}^{\infty}
\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^x}
{(x-2)!}
\\[15pt]
&= e^{-\lambda} \cdot
\lambda^2 \cdot \sum_{x=2}^{\infty}
\dfrac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!}
\\[15pt]
&= e^{-\lambda}\cdot\lambda^2
\cdot e^{\lambda}
\end{align*}
- Var(X)
\begin{align*}
Var(X) &= E(X^2)-E(X)^2
\\[10pt]
&= \lambda^2 + \lambda - \lambda
\\[10pt]
&= \lambda
\end{align*}
MGF
\begin{align*}
M_X(t) &= E(e^{tX})
\\[10pt]
&= \sum_{x=0}^{\infty}~e^{tx}
~\dfrac
{e^{-\lambda}\lambda^{x}}
{x!}
=
e^{-\lambda}~\sum_{x=0}^{\infty}
~\dfrac
{(\lambda~e^{t})^x}
{x!}
\\[20pt]
&= e^{-\lambda}~e^{\lambda e^{t}}
= e^{\lambda(e^{t}-1)}
\end{align*}
log MGF
\begin{align*}
\log M_X(t) &= \log e^{\lambda(e^{t}-1)}
= \lambda(e^{t}-1)
\\[20pt]
\dfrac{d}{dt} \log M_X(t)
&=
\lambda e^t
\\[20pt]
\dfrac{d^2}{dt^2} \log M_X(t) &=
\lambda e^t
\end{align*}