예시: 균등분포
균등분포는 다른 분포와는 다른 방식으로 통계량 및 추정량을 찾는다.
균등분포의 특징
- 다른 분포와 달리 지시함수의 범위가 닫혀있다.
- 따라서, 각 확률분포들의 순서를 정할 수 있다.
\begin{align*}
f_X(x) &= {1 \over \theta}~
I(0<x<\theta)
\\[10pt]
f_{\underline{X}}(\underline{x}) &=
\bigg({1 \over \theta}\bigg)^n~
\prod_{i=1}^{n}~I(0<x<\theta)
\\[15pt]
&= \bigg({1 \over \theta}\bigg)^n~
\prod_{i=1}^{n}~I(0<X_{i}<\theta)
\\[15pt]
&= \bigg({1 \over \theta}\bigg)^n~
I(0<X_{(1)})~I(X_{(n)} < \theta)
\end{align*}
- 식을 인수분해했을 때, 모수와 x의 곱으로 표현한 부분이 존재한다.
- 이때 x파트는 X_{(n)}으로, 충분통계량이다.
통계량 찾기
- 이러한 특성 상 표본통계량이 아닌, 순서통계량을 사용한다.
\begin{align*}
&f_X(x) = {1 \over \theta}
\\[10pt]
&f_{\underline{X}}(\underline{x})
= {1 \over \theta^n}
\end{align*}
타 분포 : 표본통계량에 각종 수를 더하고 곱한 것 = 표본통계량
균등분포 : 순서통계량이 곧 충분통계량.
추정량 찾기
추정량은 앞의 4가지 방법으로 멀쩡히 찾을 수 있을까?
충분성을 가진 표본통계량이 있다고 생각하고 억지로 시도해 보자.
- mle로 찾아보기
\begin{align*}
f_\mathbf{X}(\mathbf{x}) &=
{1 \over {\theta}^n}~
I(0<X_{(1)})~I(X_{(n)}<\theta)
\\[10pt]
\log f_\mathbf{X}(\mathbf{x}) &=
~\text{?}
\end{align*}
- 적률법으로 찾아보기
\hat{E}(X) = {\theta \over 2} =
{1 \over n}\sum{X_i} = \overline{X}. \\[10pt]
\hat\theta = \overline{X}
- 적률법으로 구한 만큼 꼭 불편성을 확인해보자.
- 먼저 \overline{X}의 분포를 확인해야 한다. 가능…?
그래서 순서통계량을 이용한 방법을 써봐야 한다.