z검정
다음과 같은 상황이 있다고 가정하자.
\hat\mu = \overline{X}. \kern{15pt}
X_i \sim N(\mu, \sigma^2). \kern{15pt} \text{i.i.d}
이 상황에서 신뢰구간과 신뢰수준을 정의하면 다음과 같다.
P(a < \hat\mu < b) = 1-\alpha
= P(a < \overline{X} < b). \kern{10pt} \overline{X} \sim
N\bigg(\mu,
{\sigma^2 \over n} \bigg)
이때 분산을 알면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.
\begin{align*}
P(&a < \hat\mu < b) =
P\bigg(~
{a-\mu\over\sigma/\sqrt{n}} < {\overline{X}-\mu
\over\sigma/\sqrt{n}} <
{b-\mu\over\sigma/\sqrt{n}}~\bigg)
\\[15pt]
&=~P\bigg(
-z_{\alpha/2} < {\overline{X}-\mu\over\sigma/\sqrt{n}} <
z_{\alpha/2}~\bigg)
\\[15pt]
&=~P\bigg(
-z_{\alpha/2} <
{\mu-\overline{X}
\over\sigma/\sqrt{n}} <
z_{\alpha/2}~\bigg)
\\[15pt]
&=~P\bigg(~
\overline{X}-z_{\alpha/2}~
{\sigma\over\sqrt{n}}
< \mu <
\overline{X}+z_{\alpha/2}~
{\sigma\over\sqrt{n}}
~\bigg)
\\[10pt]
\end{align*}
표준정규분포는 대칭이므로, 너비가 가장 짧은 구간은 대칭이다.
정리해보면 다음과 같다.
\hat\mu = \overline{X}. \kern{15pt}
X_i \sim N(\mu, \sigma^2). \kern{15pt} \text{i.i.d}
\\[15pt]
\text{confidence interval} =
\overline{X} \pm z_{\alpha/2}~
{\sigma\over\sqrt{n}}