ex. x_i \sim bernoulli(p)_. \kern{20pt} \hat p = \overline{X}.
\sum X_i \sim binominal(n, p).
1-\alpha = P(a < \overline{X}< b)
= P(na < \textstyle\sum X_i < nb)
- P를 없앨 수 없음. 따라서 CLT를 사용해야 한다.
By CLT,
{\overline{X} - p\over
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }
\kern{10pt}
\longrightarrow \kern{10pt}
N(0, 1).
\begin{align*}
&P\Bigg(
{a - p\over
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }
<
{\overline{X} - p\over
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }
<
{b - p\over
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }
\Bigg)
\\[30pt]
=~&P\Bigg(
-Z_{a\over2}
<
{\overline{X} - p\over
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }
< Z_{a\over2}
\Bigg)
\\[30pt]
=~& P\Bigg(
\overline{X} -Z_{a\over2} \textstyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} < p <
\overline{X} + Z_{a\over2} \textstyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
\Bigg)
\end{align*}
\therefore~p의 100(1-\alpha)% CI C.I.
\overline{X} \pm Z_{a\over2} \textstyle
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
\kern{10pt} \longrightarrow
\kern{10pt}
\overline{X} \pm Z_{a\over2} \textstyle\sqrt{
\frac{\overline{X}(1-\overline{X})}
{n}}
여기서 \overline{X}(\overline{X}-1)의 최댓값을 구해보면
0< \overline{X} < 1. \kern{20pt}
\overline{X}~(1-\overline{X})
\\[10pt]
\therefore~~\sqrt{{\overline{X}(\overline{X}-1) \over n}} \le
{1 \over 2\sqrt{n}}
그래서 편법으로 신뢰구간을 다음과 같이 쓰기도 한다.
\overline{X}~\pm~Z_{a\over2}~
\cdot~{1 \over 2\sqrt{n}}