포아송분포 구간추정
ex. x_i \sim poi(\lambda)
P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda}~\lambda^x}{x!}~_.
\kern{20pt}
M_X(t) = e^{\lambda(e^t-1)}
\sum x_i \sim poi(n\lambda)
M_{\sum X_i}(t) = \prod E(e^{tX_i})
= e^{n\lambda(e^t-1)}
식을 세워보면 다음과 같다. 그런데 람다를 없앨 수 없으니, CLT를 이용한다.
By CLT,
\dfrac{\overline{X}-\lambda}
{\sqrt{\lambda}/\sqrt{n}}
\rightarrow N(0, 1)_.
\\[15pt]
1-\alpha = P\bigg(
-Z_{a\over2} <
{\overline{X} - \lambda \over
\sqrt{\lambda} / \sqrt{n}}
< Z_{a\over2}
\bigg)
-Z_{a\over2} 부분을 계산해 보면 다음과 같다. (수정 필요)
-Z_{a\over2}<
{\overline{X} - \lambda \over
\sqrt{\lambda} / \sqrt{n}}
=
{\sqrt{n}~(\overline{X} - \lambda) \over \sqrt{\lambda}}
\\[15pt]
-Z_{a\over2}~\sqrt{\lambda}<
\sqrt{n}~\overline{X} - \sqrt{n}~\lambda
\\[15pt]
\sqrt{n}~\lambda
-Z_{a\over2}~\sqrt{\lambda}
-\sqrt{n}~\overline{X} < 0
\\[15pt]
\lambda = {
Z_{a\over2} \pm \sqrt{
{Z_{a\over2}}^2 + 4n\overline{X}}
\over 2\sqrt{n}}
Z_{a\over2} 부분을 계산해 보면 다음과 같다. (수정 필요)
-Z_{a\over2}<
{\overline{X} - \lambda \over
\sqrt{\lambda} / \sqrt{n}}
=
{\sqrt{n}~(\overline{X} - \lambda) \over \sqrt{\lambda}}
\\[15pt]
-Z_{a\over2}~\sqrt{\lambda}<
\sqrt{n}~\overline{X} - \sqrt{n}~\lambda
\\[15pt]
\sqrt{n}~\lambda
-Z_{a\over2}~\sqrt{\lambda}
-\sqrt{n}~\overline{X} < 0
\\[15pt]
\lambda = {
Z_{a\over2} \pm \sqrt{
{Z_{a\over2}}^2 + 4n\overline{X}}
\over 2\sqrt{n}}