두 모평균의 차이에 대한 구간추정
\text{A : }X_i \sim N(\mu_1, \sigma^2). \kern{20pt}
i=1,\cdots,n
\\[10pt]
\text{B : }X_i \sim N(\mu_1, \sigma^2). \kern{20pt}
i=1,\cdots,n
이때 \mu_1 - \mu_2의 100(1-\alpha)%% 신뢰구간은 다음과 같다.
P(a<\overline{X}-\overline{Y}<b) =
1 - \alpha.
\\[15pt]
\overline{X}-\overline{Y} \sim
N\bigg(\mu_1-\mu_{2,}~{\sigma^2\over n_1} +
{\sigma^2\over n_2} \bigg)
분산을 알고 있다고 가정하면
\begin{align*}
&P~\bigg(~
{a - (\mu_1 - \mu_2)\over
\sigma~\sqrt{\frac{1}{n_1} +
\frac{1}{n_2}}}
<
{\overline{X} - \overline{Y}
- (\mu_1 - \mu_2)\over
\sigma~\sqrt{\frac{1}{n_1} +
\frac{1}{n_2}}}
<
{b - (\mu_1 - \mu_2)\over
\sigma~\sqrt{\frac{1}{n_1} +
\frac{1}{n_2}}}
~\bigg)
\\[30pt]
&=~P~\bigg(
z_{\alpha/2} <
{\overline{X} - \overline{Y}
- (\mu_1 - \mu_2)\over
\sigma~\sqrt{\frac{1}{n_1} +
\frac{1}{n_2}}}
< -z_{\alpha/2}
\bigg)
\end{align*}
\text{confidence interval} =
\overline{X}-\overline{Y}
\pm z_{\alpha/2}~
\cdot\sigma~
\sqrt{{1\over n_1}+{1\over n_2}}