1. 벡터

벡터란?

좁은 의미의 벡터

• 물리학의 관점: 방향과 크기를 가진 양.
• 컴퓨터과학의 관점: 두 개 이상의 수로 이뤄진 쌍
• 이를 좁은 의미의 벡터로 본다. (여기서는 좁은 의미로)

넓은 의미의 벡터

• 수학의 관점: 벡터공간의 원소
• 이를 넓은 의미에서의 벡터로 본다. (벡터공간과 연관이 있다.)

벡터의 표기

1. \vec{x}, \vec{y} : 주로 물리에서 표기하는 방법
2. \underline{x}, \underline{y}, \bold{x}, \bold{y} : 컴싸나 통계에서 사용하는 방법

둘 중 편한거 고르면 된다. 책에 쓰기에는 밑줄표기가 편하다.

벡터의 연산

ex.\quad \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

합과 차

• 각 원소끼리 더해주거나 빼주면 된다.

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1+4 & 2+5 & 3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}

\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2-5 & 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}

곱셈1 - 스칼라곱

• 보통 inner product(내적)이라고도 한다.

• 각 벡터의 원소끼리 순서대로 곱하고, 그것들을 다 더하면 된다.

  공식으로 쓰면 다음과 같다 ➡️ a \cdot b = \sum a_{i}b_{i}

곱셈2 - 벡터곱

• 보통 외적이라고 한다.
• 행렬식을 만들어서 풀면 된다. i, j, k는 단위벡터를 의미한다.

벡터의 크기 : 놈(Norm)

만약 a = \left[ \begin{matrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{matrix} \right]인 경우, {\mathbb{\left|a\right|} } = \sqrt {1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} 즉, 각 원소의 제곱을 다 더하고 거기에 근호를 취하면 된다.

벡터의 종류

1. 열벡터

   \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix}

2. 행벡터

   \left[ \begin{matrix} a \ b \ c \ d \end{matrix} \right]

3. 영벡터

   • 0으로만 이뤄진 벡터 ➡️\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right]
   • 기호로 표기 ➡️ \mathbb{0}, \underline{0}, \mathbf{0}

4. 일벡터

   • 1로만 이뤄진 벡터 ➡️ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \end{matrix} \right]
   • 기호로 표기 ➡️ \mathbb{1}, \underline{1}, \mathbf{1}

5. 단위벡터

   • 길이가 1인 벡터

   구하는 방법

   a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

   \mathbb{\left|a\right|} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{13}

   \dfrac { \mathbb{a} } {\mathbb{\left|a\right|}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{2}{\sqrt{12}} & \frac{3}{\sqrt{12}} \end{pmatrix}