적률법
\hat E(X) = \dfrac{1}{n}
~\sum_{i=1}^{n}{X_i}^k
\kern{25pt}
k = 1,2,3,\cdots
- (추정량의 기댓값) = (표본의 기댓값) 으로 정의한다.
- 이때, k는 최대한 적게 사용해야 한다.
예시 : 정규분포
X_i \sim N(\mu,~\sigma^2)이고, 각 X_i들이 i.i.d이며, i : 1, \cdots, n이라고 하자.
이때, \mu와 \sigma^2의 추정량은 얼마인가?
- \mu의 추정량
\begin{align*}
\hat E(X_i)
&=
\dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}~X_i
\\[15pt]
\hat\mu \kern{10pt}
&= \kern{10pt}
\overline{X}
\end{align*}
- \sigma^2의 추정량
\begin{align*}
\hat E({X_i}^2) &= \dfrac{1}{n}
~\sum_{i=1}^{n}~X_i^2
\\[15pt]
v\hat ar(X_i) &= \dfrac{1}{n}
~\sum_{i=1}^{n}~X_i^2
~-~ \overline{X}^2
\\[15pt]
&= \dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}
\Big(X_i - \overline{X}\Big)^2
\end{align*}
- 불편추정량인지 확인
\begin{align*}
E(\hat\mu) &=
E(\overline{X}) = \mu
\\[10pt]
E(\hat\sigma_{MME}^2) &=
~E\bigg[
\dfrac{1}{n}~\sum_{i=1}^{n}
\big(X_i - \overline{X}\big)^2
\bigg]
\\[15pt]
&= ~\dfrac{1}{n}~
E\bigg[
~\sum_{i=1}^{n}
\big(X_i - \overline{X}\big)^2
\bigg]
\\[15pt]
&= ~\dfrac{n-1}{n} ~\sigma^2
\end{align*}
분산의 경우 불편추정량이 아님! {\hat\sigma}^2 \not = \sigma^2 라서!
따라서 다시 수정해보자.
E({\hat\sigma}^2) =
\\
E(s^2) =